1898年(明治30)年6月23日、大阪府大阪狭山市に生まれる。狭山尋常小学校を卒業後、水戸学の系統をひく史学を学び、高瀬真卿の書生となって刀剣鑑定術や歴史を学ぶ。1917年(大正6年)、大阪の騎兵第四連隊第三中隊に入隊する。1926年(大正15年)より京都帝国大学文学部考古学教室で「日本考古学の父」とされる浜田耕作の指導を受け、1934年(昭和9年)『日本上代の甲冑』を上梓して1936年(昭和11年)に帝国学士院東宮御成婚記念賞を受賞する。1941年(昭和16年)刊行の『日本上代の武器』により、東アジア文化史の視点に立ち、出土品の実証的研究にもとづく独自の方法論を確立する。末永は龍谷大学で文学博士の称号を得る。1950年(昭和25年)、関西大学の講師に就任。1952年(昭和27年)より同43年まで関西大学教授。
奈良県の嘱託として
石舞台古墳、
橿原遺跡などの調査に当たり、1938年(昭和13年)、
奈良県立橿原考古学研究所を設立。昭和26年より同所所長となる。
桜井茶臼山古墳、
和泉黄金塚古墳、新沢千塚古墳群などを調査し、昭和47年、
高松塚古墳の発掘を指導した。
1991年5月7日午後2時30分、心不全のため大阪府大阪狭山市の自宅で死去した。享年93歳。